En
matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente
derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r)
se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si
esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y
la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica.
Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una
estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si
y solo si se puede representar con una serie de potencias; los
coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la
fórmula de la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
*
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función
a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas
funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen
alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un
desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de
Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie
de Laurent. La serie de Taylor de una función f de números reales o
complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números
reales o complejos a, es la serie de potencias:
que puede ser escrito de una manera más compacta como
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